Proceedings 2002

Contents

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПОНЯТИЙ

 

 

В. В. Чернюгов

С-Петербургский экономико-математический институт РАН

www.rcom.ru/emi, Ugov@emi.spb.su

 

 

Ключевые слова: понятие, семантика, формализация, виды данных.

 

Формализмы во многих дисциплинах играют основополагающую роль. Естественно не все аспекты методов формализации достаточно развиты. Недостаточно разработанными остаются наиболее трудные семантические аспекты. Глубина и важность проблемы семантической интерпретации еще недостаточно осознается. Неразработанность семантических аспектов зачастую провоцирует использование неспецифических и неприемлемых методов семантической интерпретации. Разработкой и исследованиями семантических аспектов формализаций занимается теория понятий. Теория понятий как метаматематическая дисциплина исследует и объясняет суть и природу семантических соотношений и представляет собой семантический формализм. Понятие трактуется как схема построения обобщения имеющегося понятия, которая и служит семантической интерпретацией образуемого понятия. Теория понятий устанавливает новый, более жесткий стандарт строгости построения формальных теорий. Теория понятий может рассматриваться в качестве математической формализации видофикации данных. Основной задачей теории понятий является разработка и исследование схем построения понятий. Кроме проблемно-ориентированных и универсальных концептуальных понятий теория понятий обеспечивает построение семантических понятий, которые формализуют понятие семантики. В развитие и обобщение языка программирования может рассматриваться разработка и построение понятийного языка. Семантические концепции теории понятий могут оказаться полезными в теоретической и когнитивной лингвистике естественных языков.

 

 

  1. Введение

 

Многие, особенно наиболее принципиальные, проблемы языков и систем программирования не удается решить удовлетворительным образом на основе интуитивного и прагматического подходов. Математическая теория понятий предлагает концепции, которые могут оказаться полезными в разрешении этих проблем. Математическая теория понятий представляет собой систему формальных математических определений схем понятий, мета и квази понятий, схем методов и т.д., которые адекватны используемым в программировании основным типам данных. На основе введенных определений может быть дана интерпретация таких понятий программирования,  как понятия вида и видового значения, именования и понятия переменной, интерпретация ссылочных данных и др. Теория понятий позволяет построить аксиоматическую модель алгоритмов и данных, позволяет разрешить некоторые  теоретические вопросы программирования и теории видов.

 

1.1. Семантический подход к теории понятий

 

Первые формализации понятия алгоритма появились в связи с проблемой о невозможности алгоритмов. В этих формализациях основное внимание уделялось проблеме точного, строгого, формального представления механизма преобразования символьных данных. Наиболее последовательным и строгим примером такой формализации считаются нормальные алгорифмы[1]. Под данными при такой формализации понимаются последовательности символов (слова, предложения) в некоторых алфавитах. Более важная проблема – проблема семантического значения данных при алгоритмическом преобразовании, остается в формализации менее акцентированной. Символьные последовательности (это особенно наглядно видно, если иметь в виду битовые последовательности) сами по себе не представляют какого-нибудь семантического значения, т.е. они сами по себе не представляют (не обозначают) ничего, кроме самих себя.

Если не предполагать хоть какого-то механизма интерпретации формализмов, то в таком случае формализм оказывается неприменимым (поэтому) ни к чему и, следовательно, оказывается ненужным. В теории нормальных алгорифмов возникает необходимость рассмотрения применения алгорифмов к другим алгорифмам (и, как частный случай, применения к себе). Это простейший вариант опосредованной (т.е. не связанной с пониманием формализации человеком) семантической интерпретации: для семантической корректности применения требуется, чтобы аргументное значение алгорифма интерпретировалось (рассматривалось) как представление алгорифма, т.е. не просто как ничего не значащие символы некоторого алфавита, а как некоторое представление, допускающее все свойства и особенности алгорифма. (Здесь сразу возникает множество трудных вопросов по существу семантической интерпретации!) Теория алгорифмов решает эту проблему элементарно просто: критерием требуемой семантической представимости берется взаимооднозначное соответствие элементов двух множеств, одно из которых представляет аргументное множество алгорифма, другое – некоторое символьное представление схемы алгоритма. Справедливости ради следует заметить, что формальная теория множеств не запрещает такой замены, точнее, замена осуществляется вне формализации теории множеств, что, наверное, есть упущение теории множеств.

Теорией нормальных алгоритмов проблема семантической интерпретации (как значимая самостоятельная проблема) никак не обсуждается и не формулируется. Для применения нормальных алгорифмов к тем или иным задачам теории нормальных алгоритмов приходится рассматривать соответствия объектов и данных. В качестве критерия представимости в теории нормальных алгорифмов рассматривается принцип взаимооднозначного соответствия. Быть может для каких-либо целей такое соотнесение может оказываться вполне удовлетворительным, но с семантической точки зрения этот принцип не может быть признан удовлетворительным и приемлемым. Действительно, из того, что количество дней недели совпадает с количеством музыкальных нот или цветов радуги не следует каких-либо последствий о семантической адекватности этих сущностей. С семантической точки зрения количественное равенство никак не может служить хоть каким-то обоснованием семантического соответствия составляющих эти множества элементов. Для установления семантического соответствия этих множеств более существенным и значимым представляется в первую очередь установление тождественности или какого-либо другого соответствия самих образующих эти множества элементов. В теории нормальных алгоритм принцип взаимооднозначного соответствия используется для установления семантических соответствий, что может приводить и приводит к семантическим некорректностям[2].

Другая проблема, также связанная с проблемой интерпретации данных (семантикой данных) – это проблема семантики алгоритмов. Пусть каким-либо образом решена проблема семантической интерпретации данных. Пусть последовательности символов, поступающие на вход алгоритмов, имеют формальное определение семантики, т.е. пусть они нечто представляют. Тогда естественно полагать, чтобы алгоритмы, преобразуя аргументные последовательности, не нарушали бы, не вступали бы в противоречие с семантикой данных. Поэтому наряду с алгоритмом следует (необходимо) рассматривать и его семантику, как представление преобразования семантики данных.

Для рассмотрения использования алгоритмов при решении тех или иных проблем необходимо рассмотрение и решение проблемы представления данными алгоритма соответствующих прикладных объектов. Это проблема семантической интерпретации данных. Это основная проблема теории семантических алгоритмов, проблема, которая полностью определяет суть и проблематику теории понятий. Семантическая интерпретация данных должна составлять часть формализации алгоритмов. Или наоборот: определение алгоритмов должно основываться на теории понятий.

 

1.2. Видовой подход к теории понятий

 

Другой, быть может более прагматичный подход к теории понятий, проистекает из рассмотрения понятия вида (типа) в языках программирования. Понятие типа данных появилось в программировании уже в первых языках программирования. В языках программирования типы данных появились из чисто прагматических соображений: с помощью типов  решалась проблема распределения памяти при трансляции алгоритмов в коды конкретной вычислительной машины и задача управления памятью в процессе исполнения алгоритмов. Во всяком случае, в определении языков программирования не предлагается хоть какой-либо мотивации и объяснения предназначения введения видового аппарата в язык. При развитии языков программирования этот принцип очень скоро вступил в противоречие с практикой использования типов. Использование типов не только не обеспечивало эффективного распределения памяти, но и вступало в противоречие с этими принципами. Так объединение (в объединенном виде) данных, которые требуют существенно различных объемов памяти, не обеспечивают рациональное распределения памяти.

Виды данных не являются обязательным, неотделимым атрибутом собственно вычислений. Известно, что, несмотря на использование видового аппарата при программировании задач, для исполнения алгоритмов решения этих задач видовые атрибуты не требуются. Эта необязательность аппарата понятий для непосредственного исполнения программ определяли определенные трудности и неприятия становления видового аппарата в практику программирования.

Совершенствование языков программирования в части видофикации данных требовало более полного и глубокого понимания сути, предназначения и определения видофикации. Для изучения видовых средств делались попытки привлечения подходящих, уже разработанных и исследованных средств. Одной из первых работ, попытавшихся привнести некоторые математические сущности и концепции в основу видофикации языка программирования можно считать работы по разработке языка самого высокого уровня (как он тогда был представлен) SETL. В языке программирования SETL (SET Language) для представления вида предлагалось использование понятия множества. Для простых типов данных, введенных еще в первых языках программирования, представление и формализация типов с помощью множеств на первый взгляд представляется вполне естественным. По мере развития языков программирования, особенно в части совершенствования видового аппарата,  моделирование вида с помощью множеств оказывалось не только все менее и менее эффективным и адекватным, но и усугубляло ситуацию и запутывало проблему. В целом попытка моделирования вида понятием множества не оказалась удачной. Неудача может быть объяснена тем, что в действительности (как будет видно дальше) не множества являются базовыми понятиями для видофикации, а скорее, наоборот, понятие, являющиеся аналогом понятия вида, являются более концептуальным (фундаментальным) понятием для других (включая и понятие множества) понятий.

 

1.3. Аксиоматический подход к теори понятий

 

Поиски каких-либо других известных математических моделей для адекватного представления вида также не приводят к сколь-нибудь удовлетворительным результатам. Альтернативой использованию математических моделей является использование математических методов. Среди методов, потенциально применимых для построения теории видов, наиболее подходящим представляется аксиоматический метод. Основное преимущество аксиоматического подхода видится в возможности в процессе аксиоматического построении определения подходящего языка программирования обнаружить и построить необходимые адекватные средства языковых определений (включая средства видофикации), которые будут обусловлены самой аксиоматической технологией.

Применение аксиоматического подхода для построения определения алгоритмического языка встречает труднопреодалимое препятствие. Дело в том, что правила логического вывода являются, по сути, алгоритмами, и использование алгоритмов для определения языка определения этих алгоритмов не представляется логически безупречным приемом. Тем не менее, попытка применения аксиоматического подхода показала, что понятие вида является достаточно базовым понятием, которое не может быть выведено из других используемых в языках программирования понятий.

Кроме того, при разработке аксиоматики алгоритмов и данных обнаружилось[3], что использование аксиоматического подхода для определения языка программирования требует разработки, определения и использования значительного числа различных понятий. Понятия должны быть при аксиоматическом подходе точно и, желательно, формально определены. Для применения аксиоматического подхода для аксиоматического определения практического языка программирования, во всяком случае, требуется предварительная достаточная проработка методов построения и использования понятий. Решение проблемы разработки требуемых понятий и правил работы с этими понятиями естественно предлагать путем разработки некоторой общей теории, с помощью которой могли бы быть даны различные частные определения понятий. При анализе проблемы определения аппарата понятий обнаружилось, что эти две проблемы (проблема определения вида и проблема определения понятий) имеют очень много общего и, как впоследствии выяснилось, они представляют собой эквивалентные, по сути, варианты одной и той же проблемы. В дальнейшем в качестве основной, как более общей, за основу была взята понятийная проблема. 

О предпочтительности разработки теории понятий в возможно более общем (широком) аспекте говорит не только то, что она может обеспечивать как теорию видов в языках и системах программирования, так и использование аппарата видов в построениях аксиоматических понятийных систем, но и возможность, и целесообразность применения теории понятий во множестве различных других областях информационных технологий. В этой связи также можно заметить, что разработка и построение прикладных понятий представляет собой достаточно самостоятельную, обособленную и не простую проблему, от решения которой во многом зависит построение самой прикладной теории. При построении конкретных прикладных понятий для исследователя в первую очередь представляет интерес содержательная сторона понятий. В то же время, понятийный аппарат представляет собой достаточно самостоятельный и достаточно сложный механизм формализации, имеющий собственные специфические закономерности и правила построения, которые должны быть обеспечены и выполнены независимо от проблемной специфики области использования понятия. Примером может служить многотрудная и драматичная проблема определения понятия множества. Понятия в первую очередь являются объектом теории понятий, и лишь потом объектом прикладной теории.

Об аксиоматичности теории понятий можно говорить в двух аспектах. Прежде всего, теория понятий сама построена на аксиоматических принципах. С другой стороны, системы понятий, разрабатываемые в рамках теории понятий, автоматически являются аксиоматическими. В аксиоматических теориях обычно предполагается некоторый набор исходных аксиоматических утверждений, из которых выводятся содержательные утверждения теории. В теории понятий ситуация несколько иная. Аксиомы появляются по мере развития теории. Эти аксиомы есть концептуальные понятия, которые являются определениями новых понятий.

Построение концептуальных понятий, как обобщение некоторых других понятий,  можно трактовать как реализацию принципа аксиоматичности построения понятий. Действительно, поскольку концептуальное понятие на самом деле является обобщением некоторого другого понятия, оно тем самым реализует основные положения, которые обычно ассоциируются с принципом аксиоматичности. Теорию понятий, как и теории прикладных понятий, разрабатываемые на основе и в соответствие с теорией понятий, следует считать аксиоматическими теориями, а в некоторых аспектах более чем аксиоматическими, поскольку теория понятий включает и методы построения новых понятий.

 

 

  1. Основные концепции теории понятий

 

Построение теории понятий основывается на нескольких основополагающих концепциях[4]. Среди этих основополагающих концепций особо можно упомянуть концепцию понятийной функции и концепцию определяющих понятийных функций, концепцию семантических понятий, концепцию понятий алгоритма и данных.

 

2.1. Концепция понятийной функции

 

Для понятий предполагается возможным рассмотрение понятийных функций  – функций, аргументами и результатами которых являются понятия. Понятия, определяемые с помощью понятийных функций, считаются производными понятиями. В зависимости от вида понятийной функции возможны различные варианты определения производных понятий. Нуль-арные функции (функции, не использующие аргумент при получении результата) определяют инициальные понятия. Инициальные понятия вводятся, как правило, неформальными описаниями образующих функций. Тождественные понятийные функции вводят, по сути, новые обозначения для понятий, т.е. понятия, являющиеся, по сути, обозначением. Понятийную функцию можно представлять в виде композиции других понятийных функций. Одной из возможных схем композиции понятийных функций является их суперпозиция. Представление понятийной функции в виде суперпозиции других функций позволяет вводить вспомогательные промежуточные производные понятия. И наоборот, вспомогательные понятия можно исключить, заменяя определяющие функции их суперпозицией.

 

2.2. Концепция определяющей понятийной функции

 

При построении новых концептуальных понятий концептуальным является использование внешних, неформальных, как правило, частичных (не всюду определенных) операций. Неопределенные значения результатов таких функций составляют основу определения новых концептуальных понятий. Концептуальность таких операций заключается в том, что те квази-понятия (непонятия), которые вырабатываются такими операциями, могут быть использованы в качестве элементов обобщения рассматриваемого понятия. Основной принцип построения обобщающих понятий состоит в абсолютно полном сохранении в новом понятии прежнего понятия. Этот принцип затрагивает проблему определения значений операций прежнего понятия на новом понятии. Внешняя, определяющая обобщение операция, вырабатывает новые производные непонятия (квази-понятия) не относящиеся к прежнему понятию. Обобщение прежнего понятия предполагает (в числе прочего) распространение операций прежнего понятия на новые квази-понятия. Допускается и предполагается применение операций обобщаемого понятия к элементам квази-понятия. Поскольку квази-понятия не относятся к обобщаемому понятию, о применении операций обобщаемого понятия к элементам квази-понятия невозможно ничего сказать и поэтому следует рассматривать возможность распространения (расширения, обобщения) этих операций на квази-понятия. Проблема заключается в назначении значений результатов такого применения. Вообще говоря, в качестве результата могут быть назначены абсолютно произвольные понятия (до понятия стеариновой свечки включительно). С другой стороны может быть выбран некий принцип назначения значений результатов операций над элементами квази-понятий, исходя из каких-либо предположений. Таким принципом является принцип сохранения в новом концептуальном понятии прежнего, обобщаемого понятия. Это, в свою очередь, предполагает, что (1) операции обобщаемого понятия могут применяться к элементам квази-понятия; (2) исходя из того, что новое понятие является обобщением исходного понятия (и тем самым заключает в себе в качестве частного случая прежнее понятие), мы не обязаны всякий раз идентифицировать, является ли некоторое конкретное понятие прежним понятием или является вновь образованным элементом квази-понятия. (Более того, возможно построение такого понятия, которое будет представлять оба этих понятия.) Из этого следует, что при достаточно произвольном назначении значения результатов операций над квази-понятиями, мы должны, тем не менее, обеспечить получение тех же (прежних) результатов, если вдруг окажется, что операция, будучи примененной к элементу нового понятия, на самом деле оказывается примененной к элементам прежнего понятия, обобщением которого новое понятие и является. (А в этом-то и состоит суть принципа обобщения понятия). Поэтому, при назначении значения результата операции над элементами квази-понятия мы полагаем, что значением является обобщение того результата, который был бы получен по этой операции над необобщенным понятием (обобщением которого рассматриваемое квази-понятие является). Такая схема назначения результата обеспечивает выполнение принципов, представляющих обобщение понятия. Действительно, пусть понятием, к которому рассматривается применение некоторой внутренней операции исходного понятия, является не образованное квази-понятие, а само исходное понятие (поскольку обобщением исходного понятия, в частности, оно само является). Поскольку назначаемым значением результата такого применения принимается обобщение результата применения операции к исходному понятию (а результат такого применения не выводит за пределы исходного понятия) и обобщением исходного оно само (в частности) и является, то принцип обобщения оказывается выполненным. Этот принцип обобщения (метод назначения результата применения операций к квази-понятиям) может быть назван гомоморфизмом понятий. Функции, участвующие в построении такого гомоморфизма понятий, считаются гомоморфными понятийными функциями.

Кроме этого, поскольку производное понятие является обобщением исходного понятия, аналогичная проблема распространения операции встает и для самой образующей операции. Поскольку по получении обобщения мы не обязаны всякий раз отличать новое концептуальное понятие от прежнего, обобщаемого понятия (а точнее, именно для того, чтобы не отличать) образующая операция сама в свою очередь должна быть распространена на новое производное понятие. Это связано с назначением значения результата применения образующей операции к элементам квази-понятия. Вообще говоря, значение результата может быть назначено достаточно произвольным образом с условием, однако, что если аргументное понятие операции обобщения вдруг представимо суперпозицией одной из имеющихся внутренних операций и образующей операцией является внутренняя операция обобщаемого понятия, то значение должно быть назначено с учетом гомоморфизма этих операций.

 

2.3. Концепция семантического понятия

 

Отличительной особенностью понятий (связанной и с мнемоникой используемого термина) является возможность понимания понятий. В самом общем виде, в соответствие с этимологией термина понятие считается, что понятие это то, что может быть понято. Семантическая интерпретация понятий осуществляется путем их соотнесения с другими понятиями, предполагаемыми известными и понятными. Это требование обусловлено необходимостью семантической интерпретацией данных (и не только при их алгоритмической обработке). Исходя из этого, основополагающей концепцией теории понятий является понятие семантики и связанное с ним семантическое понятие. Теория понятий предполагает определение семантики понятий и предлагает механизм его осуществления (т.е. тем самым определяет, что есть понимание понятий, и формализует процесс понимания понятий). Семантическое понятие есть понятие, представляющее собой сопоставление интерпретируемого понятия и понятия, представляющего его семантику. Семантическое понятие конструируется специальной операцией семантической интерпретации из имеющихся понятий. Семантические понятия не могут быть сконструированы произвольным образом. Они появляются в качестве результата некоторых действий над понятиями. Простейшим вариантом интерпретации является интерпретация понятия некоторым другим понятием, семантика которого известна изначально или уже построена.

 

 

3. Схема понятия

 

Определение понятия дается в виде схемы абстрактного понятия. Прикладные и другие понятия получаются путем их построения в соответствии со схемой абстрактного понятия. Термин “абстрактное понятие” означает, что в общем случае никакое конкретное прикладное понятие этой схемой, вообще говоря, не описывается.

Полагается, что над понятиями возможны некоторые действия (операции). Не требуя, чтобы результатами применения этих операций к понятиям некоторого рассматриваемого набора понятий были понятия этого же (или даже какого-либо другого определенного) набора понятий, мы, тем не менее, будем полагать, что результатом применения операций к понятиям являются понятия. Такие операции будем называть понятийными операциями (понятийными функциями).

 

3.1. Схема абстрактного понятия

 

Определение понятия “понятие”: понятие есть совокупность некоторого набора (других) понятий и понятийных операций для элементов этого набора понятий; и наоборот: совокупность некоторого набора понятий и понятийных операций для элементов этого набора понятий образует понятие. Элементами этого набора являются аппликации. Под аппликацией понимается применение метода без требования его исполнения.

Следует обратить внимание, что определение понятия не предполагает и не требует какого-либо исполнения (и получения результата) понятийных функций; но определение также и не исключает возможность исполнения понятийных операций: схема абстрактного понятия индифферентна относительно исполнения. (Сама же операция аппликации, как операция, заключающаяся в образовании означенной пары (совокупности понятийной функции и понятия), является операцией в полном смысле этого термина.)

Сама понятийная схема, равно как и конкретные абстрактные понятия, построенные в соответствии со схемой понятия, теория понятий рассматривает в качестве элементарных понятийных элементов, из которых понятия создаются. Элементарное понятие это та простейшая структура, которая представляет понятие.

Может создасться впечатление, что в рекурсивной схеме определения понятия не имеется возможности инициализации построения понятия (поскольку в определение понятия входит использование понятия). Эта проблема решается через нерегламентируемость используемых понятийных функций. Нерегламентируемость понятийных методов допускает (в частности) построение 0-арных функций, что и обеспечивает инициируемость схемы понятия.

 

 

3.2. Мета, квази и прикладные понятия

 

Для понятий на основе анализа схемы понятий можно отметить некоторые свойства и особенности. Сама теория понятий строится в соответствии с принципами и методами, которые она декларирует для построения прикладных понятий. Поэтому, в частности, само построение теории понятий может служить примером построения понятий прикладной области. При построении прикладных понятий основным средством образования новых понятий является предложение новых методов, новых образующих понятийных функций. Для построения новых прикладных функций автор (пользователь) должен хорошо представлять себе всю специфику проблемной области понятий, должен представлять себе цель и потребность во введении новых операций и, как следствие, новых понятий. В то же время имеется возможность построения некоторых универсальных образующих операций, которые могут быть применены к понятиям любой проблемной области без знания какой либо специфики этих проблемных областей. Такие операции мы будем считать универсальными концептуальными операциями самой теории понятий. Примерами таких концептуальных операций могут служить операции сложения и умножения понятий.

 

 

  1. Понятийный язык

 

Для использования теории понятий необходимо иметь соответствующие (приспособленные для этих целей) технологические средства. Наиболее удобным и эффективным средством, в полной мере обеспечивающим все возможности теории понятий, являются компьютерные системы проектирования и использования понятий; для целей их описания и ознакомления с ними могут быть использованы лингвистические (языковые) системы, т.е. понятийный язык. Ниже рассматриваются некоторые основные особенности возможного понятийного языка. Адекватную теории понятий лингвистическую систему организовать не представляется возможным. Лингвистические средства не обладают достаточными выразительными возможностями. Приходится ограничиваться некоторым приблизительным вариантом и прибегать к различным  условностям и компромиссам с тем, чтобы получить сколь-нибудь приемлемый понятийный язык. Частично построению понятийного языка может помочь (и помогает) введение и использование специальных вспомогательных понятий. Сам процесс построения понятийного языка может рассматриваться в качестве примера использования и применения теории понятий. Поскольку теория понятий включает определение понятия алгоритма, понятийный язык представляет собой усовершенствование такого алгоритмического языка. Наиболее близким аналогом конструкций понятийного языка могут считаться правила контекстно-свободных грамматик. Понятийный язык можно рассматривать как обоснование, модификацию и расширение механизма контекстно-свободных грамматик. Контекстно-свободные правила представляют собой в основном подходящую форму представления и применения семантических понятий. Результатом процесса построения понятий должны являться контекстно-свободные грамматики с тем, чтобы был обеспечен процесс формального использования построенных понятий. Модифицированные в этом направлении порождающие грамматики называются репродукционными грамматиками. Репродукционные грамматики обобщают контекстно-свободные грамматики и выполняют обе роли: и построение новых понятий, и использование понятий.

Лингвистическое представление понятий строится на основе использования элементарных лингвистических представлений инициальных понятий, лингвистических средств представления понятий, семантических понятий, абстрактных понятий, средств представления аппликаций понятий и элементарных средств представления алгоритмических элементов понятий. В теории понятий в качестве практических примеров построения понятий (кроме построения собственных понятий) строятся некоторые понятия алгоритмических языков: понятие данного, понятие значения, понятие обозначения, понятие переменной, понятие отношения и некоторые другие.

 

 

Литература

 

  1. Марков А.А. Теория алгорифмов. Труды Математического института им. В.А.Стеклова. Л., т.42, 1954г.
  2. Чернюгов В.В. Ненормализуемость модифицированных нормальных алгорифмов // Экономико-математические исследования: математические модели и информационные технологии. 2000г.: Наука, 2000г. С. 291-295.
  3. Чернюгов В.В. Аксиоматические основы алгоритмов и данных. // Труды конгресса ИНПРИМ-2000. Новосибирск, 2000г.
  4. Чернюгов В.В. Введение в теорию понятий. // Экономико-математические исследования: математические модели и информационные технологии. 2001г.: Наука, 2001г. С. 286-298.

 

 

 

Introduction to notion theory

  1. V. Chernyugov

 

 

Key words: notion, semantics, assertion, data mode, data meaning.

 

There is an example of normal algorithm that cannot be translated into normal form. So, there is a mistake in the theory of normal algorithms. The notion theory was initialized by discussion about that example. The notion theory is a metamathematical theory and the semantic formalism, so it investigates and explains the essence of semantic relations. It defines basic concepts of data modes and suggests the notion language and the programming system for generalizing of algorithmic language that gives evolution for algorithmic language. Also the theory can be useful for the natural language linguistics too.